群論メモ

準備

写像

写像とは $S, S’$ を集合とし、$S$の各々の元にそれぞれ$S’$の元1つを対応させる対応のことをいう。 $f: S \to S’$と書く。

このとき、$S$を写像$f$の定義域または始集合、$S’$を終集合という。

$f$によって、$S$の元$x$に対応する$S’$の元を $x$における$f$の値、$f$による$x$の像と呼び、$f(x)$と書く。

$f: S \rightarrow S’$ とする

定義

群

以下の空でない集合 $G$ が3つ条件を満たすとき、 $G$ は算法 $*$ について群をなすという。

  1. 算法 $*$ は結合的である: $G$ のすべての元 $a, b, c$ について $(a*b)*c=a*(b*c)$
  2. $G$ に1つの元 $e$ が存在して、 $G$ のすべての元 $a$ に対し $e*a=a*e=a$
  3. $G$ の任意の元 $a$ に対して $b*a=a*b=e$ となる $G$ の元 $b$ が存在する

部分群

$G$ が群で、$H \subset G$ のとき、$H$は以下の条件を満たすとき、部分群という。

以下は同値

巡回群

同値類

集合 $S$ について、同値関係 $\sim$ を定義する。以下の関係が成立している。

元 $x \in S$ について、$x$の同値類を以下のように定義する。

\[ C(x) = \{y \in S | x \sim y \} \]

$S$の部分集合で、$C(x)$の形をしたもの全体の集合を $S/\sim$ と書き、同値関係の商という。

剰余類と正規部分群

$G$ が群で、$H$ を$G$の部分群とする。

$x,y \in G$ について $x^{-1}y \in H$を$x \sim y$とする。これは同値関係を定義する。

このとき、$x \in G$の同値類を $xH$ と書き、左剰余類という。 また、左剰余類の集合を $G/H$ と書く。

このとき、$G$のすべての元$a$に対して、$aH=Ha$ が成り立つとき、$H$は$G$の正規部分群という。

$G$ が群で、$N$ を$G$の正規部分群とする。このとき、 $N$ による剰余類全体は上記の「積」に関して群を なし、これを商群といい $G/N$ であらわす。

$S, S’$ を群$G$の部分集合とし、 積 $SS’=\{ss’ \vert s \in S, s’ \in S’\}$ と定義する。

共役

ここで $aH = \{ah|h \in H\}$ は左剰余類、 $Ha = \{ha|h \in H\}$ は右剰余類という

準同型写像

群 $G, G’$とし、写像 $f: G \rightarrow G’$ が準同型写像であるとは、以下が成立することをいう。 \[ \forall x,y \in G \quad f(xy)=f(x)f(y) \]

[松坂] s6-6 について

標準的準同型の核がある正規部分群に含まれるときも準同型定理が成立するということ？ これは[雪江]に載っていた。

TODO: 可換図式を載せる

剰余類の代表

剰余類も

\[ xy^{-1} \in H \iff x\sim y \]

という同値関係からの同値類なので、同値類の代表元と同じと考える。

\[ [x] ={ \forall y \in H | x \sim y } \]

左剰余類 $[a] = aH$ とすると、その代表元は $a$

$(xN)(yN)=xyN$ について

$N$ は $G$ の正規部分群とし、任意の$G$の元$x,y$について \[ (xN)(yN)=xyN \] はなりたつのか。

左辺の元は $xnyn’$ だが、これは $xyy^{-1}nyn’$ と変形でき$xy(y^{-1}ny)n’$ となる。 $y^{-1}ny$は$N$による共役なので、$y^{-1}ny=n’’$となる(ここがポイント!) よって$xnyn = xyn’’n’$とあらわずことができるので、$xNyN \subseteq xyN$

また $xyN$ の任意の元は $xyn$ とあらわされるが、 これは $(xe)(yn)$ と変形でき $xe, yn \in xH$ より $xyN \subseteq xNyN$ がいえる。

商群の説明は[遠山, p.XX]が一番説明がわかりやすかった。

参考資料