環論メモ

環

1. $R$ は加法に対して可換群(アーベル群)をなす
2. (両側分配法則) 任意の $a,b,c \in R$ について $a(b+c)=ab+ac$ , $(b+c)a=ba+ca$
3. (積の結合法則) 任意の $a,b,c \in R$ について $(ab)c=a(bc)$
4. (積の単位元) $R$ に1つの元 $e$ が存在して、 $R$ のすべての元 $a$ に対し、 $ea=ae=a$ が成り立つ

• 乗法についての逆元の存在は仮定していない
• 環 $R$ の乗法が可換であるとき、 $R$ を可換環という

環上の加群

$R$ を環, $M$をアーベル群とする。 $R \times M$から$M$への写像 $(a,x) \mapsto ax$が定義され、次の4つの条件を満たすとき、$M$を$R$上の左加群という。

1. $a \in R$, $x,y \in M$ならば $a(x+y)=ax+ay$
2. $a, b \in R$, $x \in M$ならば $(a+b)x=ax+bx$
3. $a, b \in R$, $x \in M$ならば $(ab)x=a(bx)$
4. $x \in M$ ならば $1x=x$

体

1. $K$ が可除環とは、 $K$ が環であり, $a \in K, a \ne 0$ なら $\exist b \in K, ab=ba=1$
2. 可換な可除環を体という

• 1のみなりたつときは、$K$ を斜体という